L'expression "du coup" est familière. Elle signifie "par conséquent" :
J'étais au lit avec 40° de fièvre. Du coup, je ne suis pas allé te voir.
"Ainsi" signifie "de cette manière, dans cet état" :
Ne travaille pas ainsi.
J'étais très malade. Ainsi, il ne m'était pas possible de venir te voir.
Vous avez raison de dire que les deux phrases que vous proposez sont gauchement formulées. Vous pourriez dire :
Le match s'étant mal déroulé, le joueur s'est blessé.
Le match s'est mal déroulé et le joueur s'est blessé.
Du fait que le match s'est mal déroulé, le joueur s'est blessé.
Le joueur s'est blessé au cours du match qui s'est mal déroulé.
Au cours du match qui s'est mal déroulé, le joueur s'est blessé.
Pour l'autre phrase :
Le bébé sent qu'il a toujours besoin de sa mère.
Le bébé sent le besoin de sa mère.