"en quête de" signifie "à la recherche de" :
Je me mets en quête d'un emploi.
Je me mets en quête d'une maison.
"une enquête" est une recherche d'éléments pour comprendre une question, résoudre un problème :
L'enquête auprès des consommateurs montre que le produit a du succès.
L'enquête de gendarmerie a conduit la Justice à arrêter le coupable.